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会用相似,你才能从容应对几何,考出高分

2019-09-13 点击:883

  原创吴国平数学教育2019.8.27我要分享

  ?我们对近几年全国各地中考数学试卷进行分析和研究,就会发现与几何有关的综合试题,大部分情况之下,都需要用相似三角形相关的知识定理和方法技巧。

  相似三角形作为中考数学的热点内容,一般会从这三个角度进行考查:

  一是相似三角形的判定;

  二是利用相似三角形的性质解题;

  三是与相似三角形有关的综合题。

  正是由于相似三角形具有很强的综合性,在各种考试中,常常以图形的相似,尤其是相似三角形的知识点进行考查。如这些试题基本上具有这样两个特征:一是体现开放探究性;二是注重综合。

  相似三角形是初中几何的一个重要内容,学好相似三角形不仅能使我们对图形相似有更深刻的认识,也能使我们以前学过的全等三角形的知识得以巩固和提高。

  因此,初三学生在平时学习过程中,一定要认真对待相似三角形有关的试题。

  

  与相似三角形有关的中考试题,典型例题分析1:

  如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=AB=1,BC=2. 将点A折叠到CD边上,记折叠后A点对应的点为P(P与D点不重合),折痕EF只与边AD、BC相交,交点分别为E、F. 过P作PN∥BC交AB于N、交EF于M,连结PA、PE、AM,EF与PA相交于O.

  (1)指出四边形PEAM的形状(不需证明);

  (2)记∠EPM=α,△AOM、△AMN的面积分别为S1、S2.

  ①求证:S1/tanα/2=PA2/8;

  ②设AN=x,y=(S1-S2)/tanα/2,试求出以x为自变量的函数y的解析式,并确定y的取值范围.

  

  考点分析:

  四边形、三角函数、二次函数、压轴题

  题干分析:

  (1)根据折叠的情形可得AM=PM,△AOE≌△POM,于是AE=PM,又AD∥BC,PN∥BC,因此AE∥PM,又AM=PM,所以四边形PEAM是菱形.

  (2)①由(1)四边形PEAM为菱形,可知∠EAP=∠EPM=α,于是∠MAP=α/2,△AOM 的面积S1=1/2·OA·OM;在Rt△AOM中,tanα/2=OM/OA,所以S1/tanα/2=(1/2·OA·OM)/(OM/OA)=OA2/2,化简后,可得结果.

  ②分别过D、E作DH⊥BC于H,EG⊥PN于G,DH交PN于点K.设△EGM的面积为S ,DK=AN=x;根据△EGM∽△AOM找到S1与S的关系.由四边形ANGE的面积等于菱形AMPE的面积,可得2S1=S2+S.从而得到S1-S2的关系式.将其代入,求得函数解析式;确定y的取值范围主要抓住E点的变化范围.

  解题反思:

  这道题巧妙地把初中阶段的几何图形,函数融合在一起,从简单到复杂,层层递进.解决梯形问题,有一个基本思想,就是把梯形问题转化为三角形或平行四边形的问题来解决.

  

  与相似三角形有关的中考试题,典型例题分析2:

  孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a<0)的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A、B两点,请解答以下问题:

  (1)若测得OA=OB=2√2(如图1),求a的值;

  (2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时,过B作BF⊥x轴于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标,并求点A的横坐标 ;

  (3)对该抛物线,孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现,交点A、B的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标.

  

  考点分析:

  二次函数综合题;代数几何综合题;压轴题。

  题干分析:

  (1)先求出B点坐标,代入抛物线y=ax2(a<0)得a的值;

  (2)过点A作AE⊥x轴于点E,可证△AEO∽△OFB,得出AE=2OE,可得方程点A的横坐标.

  (3)设A(﹣m,-m2/2)(m>0),B(n,-n2/2)(n>0),易知△AEO∽△OFB,根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点(0,﹣2).

  解题反思:

  本题着重考查了抛物线的对称性和相似三角形的判定和性质,第(3)问求出mn=4是解题的关键,综合性较强,有一定的难度.

  相似三角形是数学学习中研究平面图形的基础,在生活中相似三角形也得到了广泛的运用,因此相似三角形也频繁地出现在中考的试卷上。在中考数学试卷上,相似三角形的各个性质都以习题的形式出现在试卷上,考查学生对于相似三角形的掌握情况。

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  ?我们对近几年全国各地中考数学试卷进行分析和研究,就会发现与几何有关的综合试题,大部分情况之下,都需要用相似三角形相关的知识定理和方法技巧。

  相似三角形作为中考数学的热点内容,一般会从这三个角度进行考查:

  一是相似三角形的判定;

  二是利用相似三角形的性质解题;

  三是与相似三角形有关的综合题。

  正是由于相似三角形具有很强的综合性,在各种考试中,常常以图形的相似,尤其是相似三角形的知识点进行考查。如这些试题基本上具有这样两个特征:一是体现开放探究性;二是注重综合。

  相似三角形是初中几何的一个重要内容,学好相似三角形不仅能使我们对图形相似有更深刻的认识,也能使我们以前学过的全等三角形的知识得以巩固和提高。

  因此,初三学生在平时学习过程中,一定要认真对待相似三角形有关的试题。

  

  与相似三角形有关的中考试题,典型例题分析1:

  如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,AD=AB=1,BC=2. 将点A折叠到CD边上,记折叠后A点对应的点为P(P与D点不重合),折痕EF只与边AD、BC相交,交点分别为E、F. 过P作PN∥BC交AB于N、交EF于M,连结PA、PE、AM,EF与PA相交于O.

  (1)指出四边形PEAM的形状(不需证明);

  (2)记∠EPM=α,△AOM、△AMN的面积分别为S1、S2.

  ①求证:S1/tanα/2=PA2/8;

  ②设AN=x,y=(S1-S2)/tanα/2,试求出以x为自变量的函数y的解析式,并确定y的取值范围.

  

  考点分析:

  四边形、三角函数、二次函数、压轴题

  题干分析:

  (1)根据折叠的情形可得AM=PM,△AOE≌△POM,于是AE=PM,又AD∥BC,PN∥BC,因此AE∥PM,又AM=PM,所以四边形PEAM是菱形.

  (2)①由(1)四边形PEAM为菱形,可知∠EAP=∠EPM=α,于是∠MAP=α/2,△AOM 的面积S1=1/2·OA·OM;在Rt△AOM中,tanα/2=OM/OA,所以S1/tanα/2=(1/2·OA·OM)/(OM/OA)=OA2/2,化简后,可得结果.

  ②分别过D、E作DH⊥BC于H,EG⊥PN于G,DH交PN于点K.设△EGM的面积为S ,DK=AN=x;根据△EGM∽△AOM找到S1与S的关系.由四边形ANGE的面积等于菱形AMPE的面积,可得2S1=S2+S.从而得到S1-S2的关系式.将其代入,求得函数解析式;确定y的取值范围主要抓住E点的变化范围.

  解题反思:

  这道题巧妙地把初中阶段的几何图形,函数融合在一起,从简单到复杂,层层递进.解决梯形问题,有一个基本思想,就是把梯形问题转化为三角形或平行四边形的问题来解决.

  

  与相似三角形有关的中考试题,典型例题分析2:

  孔明是一个喜欢探究钻研的同学,他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax2(a<0)的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A、B两点,请解答以下问题:

  (1)若测得OA=OB=2√2(如图1),求a的值;

  (2)对同一条抛物线,孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时,过B作BF⊥x轴于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标,并求点A的横坐标 ;

  (3)对该抛物线,孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现,交点A、B的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标.

  

  考点分析:

  二次函数综合题;代数几何综合题;压轴题。

  题干分析:

  (1)先求出B点坐标,代入抛物线y=ax2(a<0)得a的值;

  (2)过点A作AE⊥x轴于点E,可证△AEO∽△OFB,得出AE=2OE,可得方程点A的横坐标.

  (3)设A(﹣m,-m2/2)(m>0),B(n,-n2/2)(n>0),易知△AEO∽△OFB,根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点(0,﹣2).

  解题反思:

  本题着重考查了抛物线的对称性和相似三角形的判定和性质,第(3)问求出mn=4是解题的关键,综合性较强,有一定的难度.

  相似三角形是数学学习中研究平面图形的基础,在生活中相似三角形也得到了广泛的运用,因此相似三角形也频繁地出现在中考的试卷上。在中考数学试卷上,相似三角形的各个性质都以习题的形式出现在试卷上,考查学生对于相似三角形的掌握情况。

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